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【秋山仁のこんなところにも数学が】（９２） 世の中ってホントに狭いの？ - MSN産経ニュース
先日来日したブラッド・ピッドとオバマ大統領は遠い親戚（しんせき）だということを知っていますか。何代さかのぼるのかは忘れましたが、ひぃひぃひぃ…おじいさんが同じなのだそうです。さらに、ブラピの妻アンジェリーナ・ジョリーはヒラリー・クリントン国務長官とやはり遠い親戚なのだそうです。この奇遇な関係性を紹介したキャスターは、「なんとも不思議な縁を感じますね」と言っていました。
まあ、ここまでの関係でないにしても、思っているよりも世の中は狭いものです。“世の中は意外と狭い（スモールワールド）”ということについての最も有名な研究とされているのが、１９６７年に社会心理学者Ｓ．ミルグラムが発表した結果です。彼は、ネブラスカ州に住む数十人の被験者に、「手紙を知人に次々と手渡しリレーしていくことによって、マサチューセッツに住むある人物に届けられるか」という実験を行いました。この実験の結果から、彼は、「米国民から、ランダムに２人の人を選べば、その２人は、平均６人の知人を介してつながっているようだ」ということを報告したのでした。
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近年、この研究をワッツとストロガッツという２人のネットワーク理論の研究者が発展させ、コンピューターウイルスやインフルエンザの伝●（＝木へんに番）等のシミュレーション分析などにも役立てられているそうです。彼らの、コンピューターネットワークを使った同様の国際的な実験結果によると、スタートとゴールが同じ国、違う国の場合、それぞれ平均５人、平均７人の知人を介してつながっていたと報じられています。
日本では、“友達の友達はみな友達だ。世界に広げよう友達の輪”なんていうセリフがありますが、見知らぬ２人に共通の知人がいる確率はどれぐらいのものでしょうか。今回は１億人の日本人の中からランダムに選ばれたＡさん、Ｂさんの２人が共通の知人を持っている確率について考えてみましょう。
考えやすくするために、Ａさん、Ｂさんそれぞれに１０００人の知人がいるとしましょう。“顔を見ればわかる”という程度の人まで知人に含めるとすれば、知人が１０００人くらいいてもそれほど不自然な設定ではないでしょう。
いま、１億個の玉が入った巨大なつぼがあるとします。そのうちの１０００個はＡさんの知人を表す黒い玉で、残りの９９９９万９０００個は白い玉だとしましょう。このとき、Ａさんの知人１０００人の中にＢさんの知人がいる確率は、Ｂさんがこのつぼの中から１０００個の玉を取り出したとき、その中に黒い玉が含まれている確率と同じです。すなわち、Ｂさんが取り出した玉の中に１個でも黒い玉が入っていれば、２人に共通の知人がいることになるわけです。そして、考えられるすべての場合は、次の２つの場合に分けることができます。
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（ケース１）ＡさんとＢさんに共通の知人が１人以上いる
（ケース２）ＡさんとＢさんに共通の知人が１人もいない
（ケース２）に該当するのはＢさんが１０００個の玉を引いて全部白い玉が出る場合であり、（ケース１）はそれ以外の場合です。（ケース２）の確率の方が計算しやすいので、まずそれを求めましょう。
１０００個の黒い玉を含む１億個の玉が入ったつぼから、Ｂさんが玉を１つ取り出したとき、それが白い玉である確率は９９９９万９０００÷１億＝０．９９９９９ 。Ｂさんは１０００個の玉を取り出すので、これを１０００回掛けたものが、すべて白い玉を取り出す確率で計算すると、約０．９９０ と出ます。つまり、約９９％の確率でＢさんはＡさんの知人を１人も知らないということです。従って、ＡさんとＢさんに共通の知人が少なくとも１人いる確率は約１％にすぎないというわけです。
つまり、たまたま出会った相手が「友達の友達だった」ということは、１００件に１件ぐらいしかない話なわけで、「奇遇だなぁ」という言葉がピッタリと言っていいでしょう。
では、もっと範囲を広げて、１億人の中からランダムに選んだ２人ＡさんとＢさんが、“友達の友達のまたその友達”である（すなわち、ＡさんとＢさんが２人の知人を介して知り合いである）確率は何％でしょうか。
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考えやすくするためＡ、Ｂさんだけでなく各知人にもそれぞれ１０００人の知人がいるものとします。さっきと同じように９９９９万９０００個の白い玉と、Ａさんの知人に該当する１０００個の黒い玉が入っているつぼを使って考えてみましょう。
「ＡさんとＢさんが２人の知人を介して知り合いでない」という事象は、「このつぼの中から今度はＢさんの知人１０００人それぞれが、１０００個の玉を引いて、それらがみな白い玉である」ということにほかなりません。１人が１０００個すべて白い玉を引く確率は「Ｂさんがすべて白い玉を引く確率」と同じなので、０．９９です。Ｂさんの知人１０００人全員が全部白い玉を引く確率は、この確率を１０００回掛けたものであり、それは、（０．９９の１０００乗＝）約０．００００４３になります。
つまり、Ａさんの知人１０００人とＢさんの知人１０００人の間に１組も知り合いがいない確率が０．００００４３なのですから、逆にこれらの中に知人がいる確率は、１－０．００００４３＝０．９９９９５７。なんと、約９９．９９％の確率でＡさんの知人とＢさんの知人のあいだに知人関係が成立しているのです。
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すなわち、ランダムに選んだＡさんとＢさんが友達の友達のまたその友達であるというのは全然珍しいことじゃないということになります。なお、それぞれの知人の数が少なければ、間接的な知人である確率も当然低くなり、例えば、それぞれの知人数が５００人なら７１．４％、４００ 人ならば４７．０ ％、３００ 人なら２３．７％と、“友達の友達の友達”である確率は下がります。日本人の知人の数の平均値が何人なのかよくわかりませんが、間に知人を２人介してつながっている確率はそれほど低くはなく、やっぱり世の中は意外と狭いといえるようです。
